蔡家雄最后猜想

设 n>=5, 且 n^3 >素数 p,
若 C(pn, n)   mod   n^3 = p, 则 n 一定是素数。

若 C(2n, n)   mod   n^3 = 2, 则 n 一定是素数。
若 C(3n, n)   mod   n^3 = 3, 则 n 一定是素数。
若 C(5n, n)   mod   n^3 = 5, 则 n 一定是素数。
若 C(7n, n)   mod   n^3 = 7, 则 n 一定是素数。
....................................................................    

若 p 是奇素数，
则 C(p^2, p)   mod   p^3 = p

由上，数学界可以推翻这个猜想吗？



可以证明：

设 C(n^3, n^2)    mod    n^5 = r,
则 余数 r 一定能被 n 整除。
若 素数 p >= 5,
则 C(p^3, p^2)    mod    p^5 = p

编程验证
s = 0;
For[n = 1, n <= 10000, n++, 
If[Mod[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5], n] == 0, s = s + 1; 
  Print[s, "-----", Mod[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5], n] == 0]]]


蔡家雄最后猜想（续）

设 n >= 5,
若 C(n^3, n^2)    mod    n^5 = n,
则 n 一定是素数。

编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++, 
If[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5] == n, s = s + 1;
  Print[s, "---", n, "----", PrimeQ[n]]]]