蔡家雄最后猜想
设 n>=5, 且 n^3 >素数 p,
若 C(pn, n) mod n^3 = p, 则 n 一定是素数。
若 C(2n, n) mod n^3 = 2, 则 n 一定是素数。
若 C(3n, n) mod n^3 = 3, 则 n 一定是素数。
若 C(5n, n) mod n^3 = 5, 则 n 一定是素数。
若 C(7n, n) mod n^3 = 7, 则 n 一定是素数。
....................................................................
若 p 是奇素数,
则 C(p^2, p) mod p^3 = p
由上,数学界可以推翻这个猜想吗?
可以证明:
设 C(n^3, n^2) mod n^5 = r,
则 余数 r 一定能被 n 整除。
若 素数 p >= 5,
则 C(p^3, p^2) mod p^5 = p
编程验证
s = 0;
For[n = 1, n <= 10000, n++,
If[Mod[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5], n] == 0, s = s + 1;
Print[s, "-----", Mod[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5], n] == 0]]]
蔡家雄最后猜想(续)
设 n >= 5,
若 C(n^3, n^2) mod n^5 = n,
则 n 一定是素数。
编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5] == n, s = s + 1;
Print[s, "---", n, "----", PrimeQ[n]]]]