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蔡家雄猜想 

2018-01-14 15:29:47
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卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7, 
L3=97, 
L4=18817=(2^5-1)(2^5*19-1)=31*607,
并且:2^31-1与2^607-1同为素数。
L5=708158977, 

L6=1002978273411373057
   =(2^7-1)(2^7*61698958748239-1)
   =127*7897466719774591,
已证:2^127-1是素数,蔡家雄猜想:2^7897466719774591-1是大素数。

卢卡斯定理
设 p为奇素数,
若 L(p-1)  mod  (2^p-1)=0,
则 p是梅森素数。

卢卡斯定理的因子特征
设 p为>=5的奇素数,
若 L(p-1)  mod  (2^p-1)=0,
则 L(p-1) = (2^p-1) (2^p*q-1)

此时,猜想:仅当 p=5 和 p=7 时, 
L(p-1) / (2^p-1) = (2^p*q-1) 是素数。


蔡家雄猜想

若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.

若 m 表示为费尔马伪素 ,
则 (4^m - 1)/3 一定是费尔马伪素.

若 C 表示为卡迈克尔数 ,
则 (4^C - 1)/3 一定是卡迈克尔数.

证明要点:
2^m - 1   mod   m = 1
(2^m+1)/3   mod   m = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod   2^m - 1 = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod  (2^m+1)/3 = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod  (4^m -1)/3 = 1


蔡家雄猜想

在两奇数平方之间有一对间距是2的孪生素数,
即:(2n - 1)^2 < (P, P+2) < (2n+1)^2

在(2n)^2 - 4 与(2n+2)^2 - 4 之间有一对间距是4的孪生素数,
即:(2n)^2 - 4 < (P, P+4) < (2n+2)^2 - 4

在(6k)^2 - 4 与[6(k+1)]^2 - 4 之间有两对三生素数,
即:(6k)^2 - 4 < (P, P+2, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4 
与:(6k)^2 - 4 < (P, P+4, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4 

四生素数猜想

10^n<(10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9)<10^(n+1)



蔡家雄猜想                                                 
                                                                            
设n≥3 ,                                                                       
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。                                              
                                                                              
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442.        

10是如下素数的原根:
223
22222223
22222222223
222222222222222222222222222222222223
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223


蔡家雄猜想                                                   
                                                                                      
设n≥3 ,                                                                                          
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。                                            
                                                                               
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968.

10是如下素数的原根:
337
333337
3333333333333333333333333333333333333333333337


蔡家雄猜想                                                  
                                                                                    
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。                                               
                                                                                  
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310.        

10是如下素数的原根:
4447
4444444447
44444444444444444447
44444444444444444444444447


蔡家雄猜想                                                       
                                                                                   
设n≥3 ,                                                                             
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数,                                               
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691.         

10是如下素数的原根:
887
8887
888887
888888887
888888888887
888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887


蔡家雄猜想                                                       
                                                                              
设n≥3 ,                                                                 
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数,                                                    
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。                                                 
                                                                                       

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