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基于计算机的数学教学(CBM)课堂理念初探 

2016-01-27 10:47:26
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课程名称:创造探索性数学工具

适用年级:6-12

课程目标:

  • 将数学问题设计成能够利用电脑程序来解答的问题

  • 利用 Mathematica 来解释数学概念

  • 利用计算机工具来完成体验式数学学习


步骤:

  • 创造探索多项式和多边形的工具

  • 让学生使用这些工具来激发和锻炼直觉思维


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§ 课程导入

培养计算思维的课程设计不能仅仅停留在理论层面, 而应该与实际软件工具相结合, 对于中小学生而言可以从解决典型的数学问题方向进行, 这样不仅能加深学生度问题的理解与应用, 而且能让其体会到学而有用, 学而有趣, 从而更好地提高教学效果. 


下面就以研究圆周率为例, 来进行探究分析.

 

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首先老师为了激发学生兴趣, 给出介绍, 引出问题: "Pi是数学中最著名的数.它定义为圆的周长与直径的比值, 它不取决于圆周的大小. 无论圆是大是小,Pi的值都是恒定不变. 但他它的值无穷无尽, 且永不重复, 也就是Pi中的数字当中包含了你的生日, 你父母的银行密码都在其中. 如果把这些数字转换成字母, 就得到了所有单词, 你的姓名, 你说过的每句话, 你一辈子的故事, 都在这个简单的圆中. 如何得到这串数字, 是我们今天课堂上要做的任务. "



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教师可以用下面的动态模型来演示 Pi后1万小数点值, 来说明Pi是一个无理数, 根本没有办法知道它的精确数值.

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因为Pi无穷无尽, 用不重复, 鼓励学生用这个网站 mypiday.com 输入用各自的生日来试一试, 表示生日的数字开始出现在Pi后的哪一位?

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那么引出本次课堂中要求解的问题, 如果用"割圆术"来求解Pi的尽可能精确的值. 老师需要解释半径为 1 单位圆的面积为Pi, 那么将问题转化为如何求解单位圆的面积, 这里播放下面的交互模型. 将整个分割过程动态展示出来, 从而引起学生的兴趣, 帮助理解误差和极限的数学思想. 整个动态结果显示当划分的三角形越多, 近似值就会越接近实际值. 最后, 我们在极限上可以得出圆周的面积Pi . 


整个课堂老师可以将如何实现的计算过程一步一步展示出来, 鼓励学生动手去探索类似的数学问题.




§ 主体介绍

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通过调查了解学生对三角形,  正方形, 正五边形和圆面积的理解情况. 首先绘制出一个简单的三角形, 这里需要介绍单位圆上用 , 来表示坐标. 

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或者用下面用 CirclePoints 命令是在单位圆上等间距取 3 个点, 这种调用方法更加简单, 便捷.

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按照此方法, 再等间距取 4 个点绘制一个正方形. 

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然后提出如果确定圆心不变的情况下, 由圆心到多边形定点长度不变, 生成无限多边形会是什么形状. 现在就可以建立动态的模型,完全采用直观的控制方式,通过一个命令,瞬间改变参数值生成边数更多的正多边形, 随着 n 的增加, 内接正多边形的形状越接近于圆的面积. 诚如刘徽所描述那样"割之弥细, 所失弥小,割之又割, 以至于不可割,则与圆合体而无所失矣". 

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在上述动态变化之中, 能否找出如何计算出多边形的面积. 可以先从三角形, 正方形, 正五边形入手, 将多边形划分成等腰三角形, 然后利用三角形底乘以高公式, 算成多边形面积. 从而定义相应的函数 calc(n)=n sin(n)cos(n). 用此函数计算以无限划分 n 多边形的情况. 

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试一下划分正 1000 多边形时候得到的近似面积如何.

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利用刚才定义好的函数, 用动态模型展示出来. 

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那么随着 n 增大(n-> 3000), 在这个过程中, 内接正多边形越来越接近圆, 当然面积也趋近于某一个确定的数值Pi , 正多变形的周长也与圆周长趋近. 同时两者的误差将会越来越小.

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§ 学生互动


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最后可以将上述步骤合并到一个模型之中, 学生可以更直观地控制, 改变参数来理解讲授的概念, 并讨论下面两个问题.

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老师阐述这个Pi的历史

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古希腊的阿基米德(Archimedes,公元前287-前212)也曾用割圆术求圆周率,他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆, 从而得到Pi满足


1. 第几内接正多边形满足再次范围内?


2. 怎样用外切正多边形面积逼近圆的面积呢?


这些问题都会继续引起学生思考与探索, 不仅激发学生的求知欲, 感悟古代数学大家的智慧, 而且还可以令学生自己动手编写类似的程序代码, 使用先进的计算工, 进一步领略数学的美妙. 



§ 提升总结


从上述一个完整数学课堂教学案例中我们可以看到, 用基于计算机的数学教学课堂来设计教学内容, 可以更好地让学生理解相关知识, 熟练地掌握相应公式和定理, 训练其想象力, 有效地培养的思维模式. 并通过优秀的工具, 软件, 方法来激发学生的兴趣,  能将所要探索的内容轻松地实现出, 这样也就同时培养了学生的动手能力和实践能力, 使学生更容易与社会接轨, 创新和发展. 




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